【三角函數公式總結】在數學學習中，三角函數是一個重要的組成部分，廣泛應用于幾何、物理、工程等多個領域。掌握常見的三角函數公式，不僅有助于解題，還能提升對三角函數性質的理解。以下是對常見三角函數公式的系統性總結，便于查閱與復習。
一、基本定義
| 函數名稱 | 定義式 | 說明 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ | 對邊與斜邊的比值 |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ | 鄰邊與斜邊的比值 |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ | 對邊與鄰邊的比值 |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ | 鄰邊與對邊的比值 |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ | 斜邊與鄰邊的比值 |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ | 斜邊與對邊的比值 |
二、誘導公式
| 角度變換 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
三、和角與差角公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin(A + B) $ | $ \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| $ \sin(A - B) $ | $ \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| $ \cos(A + B) $ | $ \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| $ \cos(A - B) $ | $ \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| $ \tan(A + B) $ | $ \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| $ \tan(A - B) $ | $ \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
四、倍角公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin 2\theta $ | $ 2\sin\theta \cos\theta $ |
| $ \cos 2\theta $ | $ \cos^2\theta - \sin^2\theta $ 或 $ 2\cos^2\theta - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2\theta $ |
| $ \tan 2\theta $ | $ \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
五、半角公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin \frac{\theta}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| $ \cos \frac{\theta}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| $ \tan \frac{\theta}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ 或 $ \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ |
六、積化和差公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \sin B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)] $ |
七、和差化積公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left( \frac{A + B}{2} \right)\cos\left( \frac{A - B}{2} \right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left( \frac{A + B}{2} \right)\sin\left( \frac{A - B}{2} \right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left( \frac{A + B}{2} \right)\cos\left( \frac{A - B}{2} \right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left( \frac{A + B}{2} \right)\sin\left( \frac{A - B}{2} \right) $ |
八、正弦定理與余弦定理
| 定理名稱 | 公式 |
| 正弦定理 | $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $ |
| 余弦定理 | $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $ |
九、常用角度的三角函數值
| 角度（°） | $ \sin\theta $ | $ \cos\theta $ | $ \tan\theta $ |
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45° | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| 60° | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90° | 1 | 0 | 不存在 |
通過以上表格和文字的整理，可以清晰地看到三角函數的基本概念、常用公式及特殊角度的數值。這些內容是解決三角問題的基礎，建議在學習過程中反復練習并加以應用，以達到熟練掌握的目的。