【三角函數公式總結】在數學學習中，三角函數是一個重要的組成部分，廣泛應用于幾何、物理、工程等多個領域。掌握常見的三角函數公式，不僅有助于解題效率的提升，還能加深對三角函數性質的理解。以下是對常見三角函數公式的系統總結，便于復習和查閱。
一、基本定義
| 名稱 | 公式 | 說明 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ | 直角三角形中，對邊與斜邊之比 |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ | 直角三角形中，鄰邊與斜邊之比 |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ | 直角三角形中，對邊與鄰邊之比 |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ | 正切的倒數 |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 余弦的倒數 |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 正弦的倒數 |
二、常用三角恒等式
| 類型 | 公式 | 說明 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 所有三角函數的基礎公式 |
| 與正切相關 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 由基本恒等式推導而來 |
| 與余切相關 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 同上 |
| 和角公式 | $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ | 用于計算角度相加或相減的正弦值 |
| 余弦和角公式 | $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ | 用于計算角度相加或相減的余弦值 |
| 正切和角公式 | $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ | 用于計算角度相加或相減的正切值 |
三、倍角與半角公式
| 類型 | 公式 | 說明 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ | 用于簡化角度為兩倍的情況 |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ | 多種形式可靈活使用 |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 適用于角度為兩倍的情形 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 用于求角度一半的正弦值 |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 用于求角度一半的余弦值 |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 也可用其他形式表達 |
四、積化和差與和差化積
| 類型 | 公式 | 說明 |
| 積化和差（正弦） | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ | 將乘積轉化為和的形式 |
| 積化和差（余弦） | $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $ | 用于簡化余弦乘積 |
| 積化和差（正切） | $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ | 用于處理正弦乘積 |
| 和差化積（正弦） | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 用于將和轉化為乘積 |
| 和差化積（余弦） | $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 用于將和轉化為乘積 |
| 和差化積（正切） | $ \tan A + \tan B = \frac{\sin(A + B)}{\cos A \cos B} $ | 用于處理正切和 |
五、特殊角度的三角函數值
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| $\sin\theta$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| $\cos\theta$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| $\tan\theta$ | 0 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | 無意義 |
通過以上內容的整理，可以更清晰地掌握三角函數的基本概念和常用公式，有助于在實際問題中快速應用和解決相關問題。建議在學習過程中結合圖形理解和記憶，以提高掌握程度。