【三角函數基本公式】在數學中，三角函數是研究三角形邊角關系的重要工具，廣泛應用于幾何、物理、工程等領域。掌握三角函數的基本公式對于理解其性質和應用具有重要意義。以下是對三角函數基本公式的總結，包括常用公式及部分常見角度的數值表。
一、基本三角函數定義
設一個直角三角形中，角 $ \theta $ 的對邊為 $ a $，鄰邊為 $ b $，斜邊為 $ c $，則有：
| 函數名稱 | 定義式 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{a}{c} $ |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{c} $ |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{a} $ |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{a} $ |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{c} $ |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{c}{a} $ |
二、基本恒等式
1. 倒數關系：
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
2. 商數關系：
- $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $
- $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $
3. 平方關系：
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
三、誘導公式（角度轉換）
| 角度 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin(A \pm B) $ | $ \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| $ \cos(A \pm B) $ | $ \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| $ \tan(A \pm B) $ | $ \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角與半角公式
| 公式 | 表達式 |
| $ \sin 2\theta $ | $ 2\sin\theta \cos\theta $ |
| $ \cos 2\theta $ | $ \cos^2\theta - \sin^2\theta $ 或 $ 2\cos^2\theta - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2\theta $ |
| $ \tan 2\theta $ | $ \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
| $ \sin \frac{\theta}{2} $ | $ \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| $ \cos \frac{\theta}{2} $ | $ \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| $ \tan \frac{\theta}{2} $ | $ \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ 或 $ \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
六、特殊角度三角函數值表
| 角度（°） | 弧度（rad） | $ \sin\theta $ | $ \cos\theta $ | $ \tan\theta $ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45 | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| 60 | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90 | $ \frac{\pi}{2} $ | 1 | 0 | 不存在 |
通過掌握這些基本公式和數值，可以更高效地進行三角函數的計算與推導，適用于多種數學問題和實際應用場景。